FORCES EN PRESENCE.

1. Présentation
2. Calcul du couple résistant
3. Efforts dans les cadènes
4. Efforts dans les haubans
5. Efforts au pieds de mât
6. Conclusion

L'objectif de cette petite séance de calcul est de mettre en évidence les efforts dans la structure d'un voilier afin de pouvoir dimensionner la taille des haubans, l'épaisseur des matériaux, au bon endroit. L'article se veut simple, à destination de tous. Les calculs sont du domaine de la statique, cela donne une idée des forces en présence sur un système mais en général c'est très insuffisant. En effet il peut arriver qu'une pièce surdimensionnée se déforme ou casse après un passage en résonance. Au stade du modélisme on peut se risquer a construire à la limite pour le peu que la sécurité des personnes ne soit pas en jeu, on peut aussi surdimensionner sans surcoût excessif (quantité faible de matière).

Lorsque que l'on vise plus gros, les risques financiers sont plus importants. La sécurité n'est pas adaptée à la technique Essai/Erreur. Une étude dynamique est nécessaire pour mettre en évidence la fatigue d'une partie de la structure due aux accélérations (choc dans les vagues, enfournement, empannage...), ou des phénomènes vibratoires (flutters dus à la vitesse dans l'eau ou l'air, vibration moteur ou éolienne...). Revenons sur terre pour cette petite étude toute simple.

Étude d'un voilier dont la masse du lest est de 3 kg et un centre de gravité de ce lest à 400 mm sous la surface.

Une force dirigée vers le bas va être exercée par l'attraction terrestre (gravité). Cette force se calcule par la formule suivante :
   - le poids (Newton: N) = Masse (kilogramme: kg) x accélération due à la pesanteur (mètre par seconde au carré: m/s²)
   - soit : P = m x g    (g sur terre est de 9.81 m/s²)

Dans notre exemple : P = 3 x 9.81 =  29.43 N = 2.943 daN
(10 N = 1 daN) Pour simplifier  on dira que P = 3 daN

Lors d'une utilisation au moteur, le couple de rappel (Cr) va être une action qui va continuellement ramener le voilier à une gîte nulle en agissant suivant l'axe de roulis. C'est ce couple qui va procurer la stabilité latérale au voilier, il sera créé par la forme de la coque, la position des équipiers et la quille.
 Lors d'une utilisation à la voile, suivant l'allure du voilier, celui-ci va s'incliner sous le vent (gîter) par la force créée par le vent dans les voiles (poussée vélique). Le vent crée donc lui aussi un couple (Cpv) qui va provoquer la gîte du voilier.
Les voiles sont bien réglées, le voilier avance sur sa route avec une gîte de 30°. A cet instant le système est en équilibre. C'est à dire que le voilier s'est incliné jusqu'à ce que le couple de rappel vienne égaler le couple dû à la poussée vélique.

                               Cpv = Cr

Une risée arrive, le voilier s'incline encore jusqu'à ce que le couple de rappel vienne équilibrer le nouveau couple dû au vent. Il est a noter que le système reste en équilibre tant qu'il le peut. Si dans le cas d'un dériveur, l'équipier ne fait pas le poids au rappel, le voilier passera sur le "toit".

Heureusement nos voiliers possèdent une quille. On peut constater sur le schéma ci-dessus que la force de rappel en bout de quille (Fr en rouge) matérialisée approximativement au centre de gravité du lest, va croître avec la gîte mais de manière non proportionnelle.

Dans toutes les positions du voilier, la force due au poids du lest reste dirigée vers le bas (gravité). La force qui nous intéresse (Fr) est celle qui s'applique au bout du bras de levier que forme le voile de quille, tangentiellement à celui-ci. C'est en d'autres termes la décomposition de la résultante du poids suivant une perpendiculaire au voile de quille.

La trigonométrie simple nous permet de calculer cette force qui évolue avec le sinus de l'angle de gîte (figure ci-contre).

                Fr = Fp x sin angle de gîte
   
Dans l'exemple ci-contre : Fr = 3 x sin 60° = 2,6 daN

Calcul du couple : 
Le couple se calcule d'après la formule suivante, qui est le produit de la longueur du bras de levier par la force qui y est exercée perpendiculairement.

                    Cr = L x Fr

C en mdaN, L en m, F en daN

Dans notre exemple :
Cr = 0.4 x 2,6 = 1.04 mdaN  (400 mm = 0.4 m)

En réalisant le calcul pour divers degrés de gîte, on peut tracer la courbe ci-contre et constater que le couple de rappel n'évolue pas de manière linéaire mais en fonction du sinus de l'angle. C'est à dire qu'il croit rapidement pour s'atténuer vers les 90° de gîte.

Étude des points caractéristiques :
1. gîte nulle = couple de rappel nul
2. couple de rappel à 50% pour 30° de gîte
3. couple de rappel à 70% pour 45° de gîte
4. couple de rappel max pour 90° de gîte

3 Efforts dans les cadènes.

Dans la cadène plus exactement. Je vais considérer pour simplifier le problème qu'il n'y a qu'une seule cadène, la valeur de la force trouvée étant à diviser en part égales ou probablement pas entre les haubans, ceux-ci ne travaillant pas de la même façon (à noter que les haubans sous le vent ne travaillent pas et sont détendus).

Pour résoudre ce problème je me place dans la configuration la plus défavorable, avec une gîte à 90° sensée solliciter au plus (en statique) les haubans. La force que l'on va trouver sur la cadène dans cet exemple n'est pas (à peu de chose près) la force qui s'exercera dans les haubans. En effet la direction de la force Fc (schéma ci-contre) a une direction parallèle au mât, ce qui n'est pas le cas des haubans qui exercent une forces selon leur axe, c'est a dire décalé de 5 à 20°.

Pour bien comprendre ce calcul, il faut penser au système équilibré. Le lest crée un couple (Cr) qui est équilibré par un couple de même intensité en sens inverse par le gréement via la cadène (Cc).


Donc :                   Cr = Cc  

4 Efforts dans les haubans.

Pour réaliser ce calcul il faut encore simplifier le problème en faisant une approximation sur l'emplacement des haubans. Un seul sera pris en compte, encore faut il savoir ou sera son point d'ancrage sur le mât. Au sommet ne semble pas juste, ce serait négliger le bas hauban et vice versa. En réalisant divers calculs pour divers points, on constate de toute façon des différences négligeables.

Pour ce calcul, je prend le point d'application au 2/3 de la hauteur du mât (à adapter en en fonction de la configuration hauban/bas-hauban/mât).

Dans notre exemple, le mât fait 1.70m.
1.70 x 2 /3 = 1.13m on arrondira à 1m

Fg se calcule facilement en se rappelant de l'égalité du couple de rappel et du couple entraînant la gîte et conformément à la formule vue précédemment :
 Fg = Fr x L /l avec L = 0.4m ; l = 1m ; Fr = Fp =3 daN pour gîte à 90°
Fg = 3 x 0.4 / 1= 1.2 daN (environ 1.2 kg)

Nous connaissons la force Fg qu'il faut exercer au point d'attache du hauban sur le mât pour faire gîter le voilier à 90°. Il faut maintenant déterminer l'angle que forme le hauban par rapport au mât puis les efforts dans les haubans et dans le pied de mât.

Calcul de Fh, force exercée sur le hauban :
Si j'isole le système au point A, ce système est soumis à trois forces concourantes en ce point A. Ce qui nous donne la représentation graphique ci-contre. La trigonométrie nous donne :
sin 5.71° = Fg / Fh  => Fh = Fg / sin 5.71° =
Fh = 1.2 /sin 5.71° = 12.06 daN
La force de traction dans le hauban est de 12.06 daN (environ 12.06 kg).

5. Efforts au pieds de mât.

Calcul de Fm, force exercée sur le mât :
La trigonométrie nous donne :
Tan 5.71° = Fg / Fm => Fm = Fg / Tan 5.71°
Fm = 1.2 / Tan 5.71° = 12.00 daN
La force de compression sur le mât est de 12.00 daN (environ 12.00 kg)

On constate que les efforts de traction dans le hauban et l'effort de compression dans le mât est à peu de chose près identique. Si le voilier comporte deux haubans, il ne faudra pas oublier de diviser cette force en deux parties pas forcément égale, les haubans ne travaillant pas à l'identique.

Compte tenu de toutes les approximations et tous les arrondis que l'on a effectué, même si le calcule donne une valeur précise, la vérité peut être légèrement différente. On n'a pas tenu compte de la masse du gréement, on a estimé le point d'application de la force créée par le lest...

On aurait donc pu simplement se contenter du calcul des efforts sur la (les) cadène (s) du paragraphe 3 pour avoir une idée des efforts appliqués sur les haubans et le mât.

!!! EN TRAVAUX !!!